我 宁 愿 将 自 己 绑 在 悬 崖 绝 壁 上 ， 也 不 愿 做 宙 斯 忠 实 的 奴 仆 ！

— — 摘 自 古 罗 马 诗

从　中　学　生　到　博　士
— — 文 革 中 “ 五 人 小 组 ” 的 故 事 （ 四 ）

·钟雪生·

（ ５ ） 　 研 究

　 　 中 学 生 现 代 数 学 研 究 小 组 的 成 员 清 醒 地 认 识 到 ， 自 己 是 处 于 相 当 孤 立 的 科 研 环 境 中 ， 消 息 闭 塞 ， 也 很 难 了 解 国 际 数 学 研 究 动 态 。 那 么 ， 我 们 怎 么 才 能 不 把 自 己 局 限 于 仅 仅 是 研 读 研 究 生 水 平 的 数 学 专 著 呢 ？ 任 何 人 都 无 法 真 正 超 越 他 所 处 的 特 定 时 代 的 局 限 性 。 １ ９ ６ ６ 年 到 １ ９ ７ ６ 年 的 十 年 浩 劫 中 ， 中 国 的 基 础 科 学 研 究 完 全 处 于 冬 眠 状 态 。 当 五 人 小 组 成 员 试 图 与 中 国 科 学 院 数 学 研 究 所 的 人 员 接 触 时 ， 他 们 得 到 的 是 冷 冷 的 回 音 ： “ 我 们 都 不 搞 了 ， 你 们 还 搞 什 么 ？ ” 当 时 的 时 代 背 景 即 是 如 此 。

　 　 那 时 ， 有 些 大 学 生 也 未 能 完 成 学 业 ， 被 命 运 抛 在 无 人 过 问 的 穷 乡 僻 壤 。 即 使 是 那 些 完 成 了 大 学 教 育 的 幸 运 者 ， 自 认 已 完 成 全 部 人 生 教 育 的 传 统 观 念 ， 也 使 他 们 没 有 产 生 进 一 步 获 得 博 士 水 平 教 育 的 强 烈 愿 望 。

　 　 １ ９ ７ １ 年 ， 韩 念 国 老 师 提 出 了 一 致 半 有 限 测 度 与 半 拓 朴 的 概 念 ， 并 做 了 一 些 开 创 性 的 工 作 。 他 希 望 开 拓 一 些 领 域 ， 以 带 领 五 人 小 组 进 行 耕 耘 ， 以 便 获 得 更 高 层 次 的 研 究 训 练 。 当 他 把 自 己 的 成 果 介 绍 给 某 著 名 科 学 家 时 ， 这 些 课 题 的 研 究 得 到 了 肯 定 与 赞 赏 ， 但 是 也 实 事 求 是 地 指 出 这 些 课 题 是 属 于 二 流 水 平 的 研 究 ， 而 未 得 以 展 开 。 当 五 人 小 组 来 到 海 外 ， 学 习 西 方 现 代 数 学 的 研 究 时 ， 发 现 这 种 被 认 为 二 流 水 平 的 研 究 比 比 皆 是 ， 才 恍 然 大 悟 ： 只 有 在 大 量 的 二 流 水 平 研 究 基 础 上 ， 才 可 以 有 少 数 一 流 水 平 的 辉 煌 成 果 。 一 流 水 平 的 辉 煌 成 果 应 是 属 于 那 些 极 少 数 天 才 大 数 学 家 的 贡 献 。 基 础 科 学 的 研 究 也 很 难 由 当 时 人 们 的 知 识 水 平 ， 来 评 判 价 值 取 舍 。 数 学 史 上 有 太 多 的 例 子 ， 显 示 了 那 些 根 本 无 人 问 津 的 研 究 论 文 ， 经 过 几 十 年 或 近 百 年 之 后 ， 才 被 发 现 在 其 他 领 域 的 应 用 价 值 。

　 　 “ 探 讨 那 些 开 创 的 研 究 者 的 特 点 ， 直 到 他 们 的 心 灵 深 处 ” ， 曾 经 是 呼 唤 五 人 小 组 的 “ 中 学 生 ” 们 走 向 现 代 科 学 的 原 动 力 之 一 。 在 完 成 了 四 、 五 年 的 大 学 基 础 课 学 习 与 专 著 研 读 后 ， 从 事 博 士 论 文 水 平 的 研 究 能 力 训 练 ， 就 是 下 一 个 自 然 的 目 标 。 这 也 是 为 未 来 可 能 到 来 的 研 究 环 境 ， 做 好 充 分 准 备 。

　 　 在 这 期 间 ， 五 人 小 组 成 员 对 历 史 上 一 些 著 名 数 学 定 理 ， 尝 试 给 出 自 己 的 新 证 明 ， 简 化 复 杂 的 证 明 ， 对 同 一 定 理 寻 求 多 种 不 同 的 证 明 。 王 明 对 朗 道 不 等 式 给 出 了 两 种 不 同 的 证 明 ， 并 发 表 在 《 中 学 生 》 第 九 期 上 。 他 还 写 了 一 篇 出 色 的 论 文 ， 讨 论 集 合 、 测 度 和 分 析 等 不 同 领 域 中 所 运 用 的 确 界 概 念 。 张 葆 环 则 补 全 了 未 能 见 到 的 全 部 连 续 统 准 则 的 等 价 性 证 明 ， 陆 续 发 表 在 《 中 学 生 》 第 二 期 到 第 六 期 上 。 这 个 定 理 是 数 学 分 析 的 基 本 定 理 ， 并 与 数 学 基 础 有 关 。 张 还 尝 试 寻 找 定 理 的 新 的 等 价 形 式 。 程 汉 生 和 王 世 林 则 找 到 了 一 些 不 同 命 题 之 间 的 关 系 。 程 汉 生 将 巴 伯 瑞 著 《 测 度 与 积 分 》 第 一 章 翻 译 成 中 文 ， 发 表 在 《 中 学 生 》 第 七 到 第 九 期 上 。 钱 涛 除 了 发 表 了 自 己 对 罗 素 疑 难 问 题 的 看 法 外 ， 也 着 重 在 数 理 思 维 的 方 法 论 方 面 进 行 总 结 分 析 ， 发 表 了 几 篇 论 文 。 除 此 之 外 ， 每 个 人 还 独 立 做 了 些 规 模 较 大 的 研 究 工 作 。

　 　 最 早 在 这 方 面 做 尝 试 的 是 钱 涛 。 １ ９ ７ ０ 年 到 １ ９ ７ １ 年 之 间 ， 钱 涛 独 自 研 读 一 本 英 文 数 学 研 究 生 的 教 材 。 在 这 本 泰 勒 写 的 《 函 数 与 积 分 的 一 般 理 论 》 的 前 几 章 ， 作 者 给 出 了 关 于 抽 象 的 实 数 系 统 的 现 代 公 理 化 处 理 ， 但 省 略 了 很 多 细 节 和 大 多 数 证 明 。 钱 涛 根 据 书 中 给 出 的 大 纲 ， 在 昏 暗 的 小 油 灯 下 ， 乡 间 的 鸡 鸣 犬 吠 声 中 ， 写 成 了 一 篇 关 于 实 系 统 的 公 理 表 述 论 文 ， 给 出 全 部 细 节 与 证 明 。 他 所 做 的 研 究 课 题 本 身 ， 并 不 是 前 人 未 做 过 的 博 士 论 文 ， 但 是 这 个 过 程 ， 已 经 是 一 种 博 士 研 究 的 训 练 了 。

　 　 勒 贝 格 是 法 国 著 名 数 学 家 之 一 ， 在 二 十 世 纪 初 他 所 发 表 的 关 于 现 代 积 分 的 论 文 ， 有 好 多 年 无 人 能 真 正 理 解 。 一 直 到 十 几 年 后 ， 匈 牙 利 青 年 数 学 家 黎 次 用 一 种 简 洁 易 懂 的 方 式 重 新 加 以 表 述 ， 而 为 世 人 所 理 解 ， 开 始 了 广 泛 的 应 用 。 在 这 之 后 ， 另 一 位 数 学 家 丹 尼 尔 找 到 了 他 自 己 的 方 式 去 定 义 与 表 述 这 一 全 新 的 积 分 概 念 。 在 １ ９ ７ １ 年 到 １ ９ ７ ２ 年 左 右 ， 钱 涛 在 这 个 领 域 钻 研 时 ， 运 用 了 他 自 己 的 观 点 将 三 种 积 分 的 表 述 方 式 加 以 统 一 。 在 这 期 间 ， 钱 涛 还 把 数 学 分 析 中 一 个 很 难 证 明 的 定 理 ， 从 一 度 空 间 推 广 到 多 维 数 空 间 。 这 个 推 广 工 作 绝 不 是 数 学 发 展 中 的 某 些 并 无 本 质 困 难 的 推 广 工 作 。

　 　 １ ９ ７ ３ 年 ， 钱 涛 寄 给 《 数 学 通 报 》 一 篇 很 有 意 思 的 论 文 。 文 中 ， 他 把 优 选 法 与 概 率 论 方 法 结 合 起 来 ， 推 导 出 一 个 随 机 过 程 中 的 优 选 法 。 不 幸 的 是 自 此 即 石 沉 大 海 。

　 　 王 明 在 向 现 代 数 学 最 艰 深 的 领 域 挺 进 时 ， 仍 然 运 用 他 在 初 中 学 习 平 面 几 何 时 的 方 法 ， 将 书 中 定 理 的 证 明 掩 去 ， 而 尝 试 自 己 做 出 全 部 的 推 导 细 节 。 这 本 书 是 美 国 华 盛 顿 大 学 的 教 授 海 威 特 写 的 《 实 与 抽 象 分 析 》 ， 出 版 于 六 十 年 代 中 期 ， 为 研 究 生 高 年 级 教 材 。 这 本 书 对 于 大 多 数 学 生 ， 能 自 己 看 懂 就 算 很 不 错 了 。 但 王 明 非 要 自 己 给 出 全 部 引 理 与 定 理 的 独 立 证 明 不 可 。 在 １ ９ ７ １ 年 到 １ ９ ７ ２ 年 之 间 ， 他 花 了 整 整 一 年 时 间 ， 抱 紧 这 本 书 不 放 ， 努 力 自 修 。 而 伴 随 他 的 仅 仅 是 蓝 天 ， 青 山 ， 白 云 一 样 的 羊 群 ， 以 及 那 几 十 里 外 一 望 可 见 的 古 长 城 和 历 历 在 目 的 烽 火 台 。 一 年 后 ， 他 给 自 己 一 个 评 分 ， 并 向 大 家 报 告 说 他 只 能 达 到 及 格 而 已 。 因 为 在 这 本 近 六 百 页 的 大 书 中 ， 有 一 个 定 理 实 在 太 复 杂 ， 他 没 能 自 己 推 导 出 来 。 但 是 ， 为 了 鼓 励 其 他 人 也 能 继 续 学 习 这 本 书 ， 他 还 是 给 了 自 己 一 个 “ 及 格 ” 的 评 分 。

　 　 １ ９ ７ ３ 年 ， 中 国 著 名 数 学 家 陈 景 润 发 表 了 数 论 方 面 具 有 世 界 一 流 水 平 的 工 作 。 在 这 个 文 革 前 完 成 的 研 究 中 ， 他 证 明 每 一 个 大 偶 数 可 以 表 示 为 一 个 素 数 与 至 多 两 个 素 数 乘 积 的 和 ， 即 人 们 常 说 的 一 加 二 。 这 个 事 实 广 为 中 国 人 所 知 ， 是 因 为 １ ９ ７ ８ 年 ３ 月 ， 《 人 民 日 报 》 发 表 了 作 家 徐 迟 写 的 介 绍 这 位 科 学 家 的 报 告 文 学 《 哥 德 巴 赫 猜 想 》 。 而 早 在 １ ９ ７ ５ 年 到 １ ９ ７ ６ 年 间 ， 王 明 就 深 入 学 习 了 陈 的 这 篇 重 要 论 文 ， 在 完 全 看 懂 之 后 ， 他 写 了 一 篇 总 结 论 文 ， 把 陈 的 论 文 提 炼 为 十 大 数 学 分 析 技 巧 。 这 种 方 法 论 方 面 的 总 结 分 析 工 作 ， 将 会 具 有 普 遍 意 义 ， 有 利 于 推 动 其 他 问 题 的 解 决 。 他 做 此 项 工 作 ， 也 是 为 他 的 博 士 论 文 做 准 备 ， 他 希 望 能 在 代 数 整 数 领 域 证 明 这 一 定 理 。

　 　 巴 拿 赫 是 ２ ０ 世 纪 最 著 名 的 波 兰 数 学 家 ， 他 在 ３ ０ 年 代 有 一 个 猜 想 （ 假 设 ） ： 虽 然 一 维 （ 度 ） 的 区 间 与 二 维 （ 度 ） 的 方 块 在 拓 扑 上 不 同 胚 ， 但 是 在 它 们 之 上 的 连 续 函 数 构 成 的 拓 扑 空 间 是 同 胚 的 。 读 者 可 以 把 同 胚 理 解 为 某 种 意 义 上 的 类 似 。 后 来 这 个 猜 想 被 俄 国 数 学 家 所 证 明 。 但 是 在 １ ９ ７ ５ 年 时 ， 王 世 林 根 本 没 有 机 会 看 到 这 篇 用 俄 文 发 表 的 研 究 论 文 ， 便 对 这 个 猜 想 提 出 了 他 自 己 的 精 巧 证 明 。

　 　 从 １ ９ ７ ２ 年 开 始 ， 程 汉 生 追 随 北 京 师 范 大 学 数 学 系 王 世 强 教 授 学 习 数 理 逻 辑 、 模 型 论 和 非 标 准 分 析 。 １ ９ ７ ５ 年 时 他 与 王 世 林 合 作 在 豪 斯 道 夫 空 间 的 非 标 准 分 析 描 述 方 面 做 了 些 研 究 工 作 。 张 葆 环 则 参 加 了 苏 玉 田 老 师 组 织 的 “ 组 合 数 学 ” 讨 论 班 ， 以 便 进 入 现 代 数 学 研 究 的 前 沿 。

　 　 在 “ 四 人 帮 ” 猖 狂 的 １ ９ ７ ５ 年 ， 程 汉 生 钻 研 鲁 宾 逊 著 《 非 标 准 分 析 》 并 参 加 了 由 申 又 辰 教 授 领 导 的 翻 译 班 子 。 在 这 个 教 授 们 组 成 的 小 组 中 ， 他 是 唯 一 的 中 学 生 ， 负 责 翻 译 第 四 章 。 中 文 译 本 在 １ ９ ７ ８ 年 由 科 学 出 版 社 出 版 。

　 　 在 那 个 根 本 无 法 进 行 博 士 论 文 研 究 工 作 的 时 代 ， 五 人 小 组 不 断 地 尝 试 着 博 士 论 文 水 平 的 研 究 训 练 。

〔待续〕